Назад
Источник: https://dzen.ru/a/YkICRnKb8BmmWx0F
Автор: Игорь Звягин, автор канала Любознание (Канал: https://dzen.ru/luboznanie )
Что такое математическая операция
Математическая операция, простыми словами - это вопрос, требующий ответа. Далее будем использовать именно эту формулировку. В зависимости от цели, операции разделяют на 2 типа: вычислить, чтобы сравнить, или по-другому: операции действия и операции отношения.
Преобразование математических операций - это переформулирование вопроса, оно поможет нам понять, что такое логарифм и почему при делении на дробь, ее нужно перевернуть и другие вопросы.
Ответом на этот тип операций будет: да или нет.
равно (=)
больше (>)
меньше (<)
больше или равно (≥)
меньше или равно (≤)
не равно (≠)
Ответом на этот тип операций будет число. Запись нескольких одинаковых операций можно представить в виде другой операции, например запись нескольких одинаковых сложений обозначают одной операцией умножения. В математике нет предела операциям действия, всегда можно придумать новую операцию на основе предыдущей.
Обозначим операции в виде уровней. На каждом уровне есть прямая и обратная(ые) операции и каждый следующий уровень - это гипероперация предыдущего уровня. Что такое гипероперация, говорим ниже.
Сложение и Вычитание
Умножение и Деления
Степень, Корень и Логарифм
Тетракция, Суперкорень и Суперлогарифм
Пентация...
Гексация...
Гептация...
Нет предела количеству операций
В этой лекции познакомимся с первыми тремя уровнями.
Гипероперация, простыми словами - краткая запись нескольких одинаковых операций.
Например, умножение - это гипероперация сложения, то есть краткая запись нескольких операций сложения.
Умножение - это гипероперация сложения
Степень - это гипероперация умножения, то есть краткая запись нескольких операций умножения.
Степень - это гипероперация умножения
На этом основаны свойства всех операций, все операции - это краткая запись сложения/вычитания.
Потому нет конца количеству операций, для любой повторяющейся операции можно придумать сокращенную запись и это будет новой операцией, а для каждой операции существует как минимум одна обратная операция.
Сложение - это увеличение, а также перемещение. Применяют когда нужно узнать количество объектов, а также когда нужно узнать местоположение.
Элементы сложения. Слагаемое + слагаемое = сумма
Вычитание - это уменьшение, перемещение, а также разница. Это обратная операция сложению, используется в тех же ситуациях, что и сложение, а также когда нужно узнать различие между величинами.
Элементы вычитания. Уменьшаемое - вычитаемое = разность
Сложение и вычитание - базовые операции: умножение, степень и прочие в конечном итоге превращаются в сложение или вычитание.
x + y = z
y + x = z
z - y = x
z - x = y
На иллюстрации изображена взаимосвязь элементов и операций. Переход из одной операции в другую - это переформулирование вопроса: когда в одном случае ответ неочевиден, можно представить операцию в другом виде. Этот прием используем в лекции "почему при делении дробь переворачивается".
Взаимосвязь сложения и вычитания и их элементов
Свойства сложения и вычитания
a + b = b + a
a - b = (-b) + a
Суть: слагаемые можно менять местами, результат останется прежним, даже когда слагаемых много, даже когда часть слагаемых отрицательные.
Представьте себе Енота-Волшебника. Он отправился на поиски приключений. Шел в одном направлении. Вначале шел через лес, затем через поле. В конце дня возвращался домой, через поле и через лес соответственно.
Пройденное расстояние никак не изменилось, шел он через лес, а затем через поле или наоборот. Значит очередность не важна, результат будет один и тот же. По-другому это звучит так:
От перестановки слагаемых, сумма не меняется.
Строго говоря, вычитание - это тоже сложение, но в противоположную сторону, или, другими словами, с противоположным знаком. Поэтому можно менять местами не только положительные числа, но и отрицательные.
Енот-Волшебник в ветреную погоду использует магию левитации. Он прошел немного навстречу ветру, после чего взлетел и ветер отбросил его назад. Это то же самое, если бы Енот вначале отлетел назад, а потом прошел вперед.
От перестановки слагаемых, сумма не меняется, даже если это отрицательные слагаемые
Также переместительное свойство называют коммутативностью. Не только сложение обладает этим свойством.
Переместительное свойство сложения
Переместительное свойство вычитания
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = (a + с) + b
Суть: слагаемые можно группировать, результат не изменится.
Енот шел по лесу и собирал грибы. Набрал в оба кармана и еще в руках нёс. Он может сложить грибы из двух карманов в один, или положить грибы из рук в любой из карманов, количество грибов от этого не изменится. Но не советую носить грибы в карманах, пожалейте брюки.
Также сочетательное свойство называют ассоциативностью.
Сочетательное свойство сложения
Суть: слагаемые можно группировать, результат не изменится, даже если присутствуют отрицательные числа.
Вычитание числа из суммы
a - b - c = a - (b + c)
Суть: отрицательные слагаемые с общим знаком можно сложить между собой, а затем отнять их сумму.
Енот сварил большой чан волшебного варенья. Он может разлить варенье по нескольким маленьким банкам, а может налить в одну большую, равную по объему маленьким, результат будет одинаков.
Это свойство участвует в доказательстве, почему минус на минус дает плюс.
Вычитание суммы из числа
a + 0 = a; a - 0 = a
Суть: неважно, прибавляем ли мы "ничего" или убавляем, результат останется прежним.
Это позволит совершать магию преобразований над выражениями, но об этом позже.
Свойство нуля
Умножение - это сокращенная запись нескольких операций сложения или по-другому, гипероперация сложения.
Умножение - это сокращенная запись сложения
Умножение - это операция, которая отвечает на вопрос, какое получится произведение, если один множитель взяли заданное количество раз.
Элементы умножения. Множитель × множитель = произведение
Смысл - содержание. Когда знаем, что одни объекты содержат другие объекты можно узнать общее их количество.
Сколько золота в сундуках, если в сундуке 700 монет, а сундуков 10?
700 + 700 + ... так 10 раза - громоздко. Так родилась идея сокращенной записи сложения - то есть умножения.
Деление - это операция, обратная умножению. Она отвечает на вопрос, какое число получим, если делимое разделим на делитель.
Элементы деления. Делимое ÷ делитель = частное
Смысл - содержание. Когда есть множество объектов А и хотим узнать на сколько других объектов В можно разбить, так чтобы объекты В содержали объекты А.
В кошелек помещается 100 монет, сколько нужно кошельков, чтобы переложить все монеты из предыдущего примера?
x × y = z
y × x = z
z ÷ y = x
z ÷ x = y
Взаимосвязь умножения и деления и их элементов
Свойства умножения и деления
a × 1 = a
a × 0 = 0
Суть: когда возьмем что-то только один раз, мы это и получим. Когда возьмем нисколько раз, то есть 0 раз, то получим ничего, то есть 0.
Для доказательства используем метод перебора.
Свойство единицы и свойство нуля
a ÷ a = 1; a ÷ 1 = a
Суть: когда одни объекты А раскладываем по объектам В и количество этих объектов равно, то в каждом объекте В будет по одному объекту А.
Когда все объекты А положили в один объект В, в объекте В будут все объекты А.
Взяли 10 желудей и 10 горшков, в каждый горшок посадим по желудю, или математическим языком: a ÷ a = 1
Если только 1 большой горшок - все семена посадим в него, или математическим языком a ÷ 1 = a
Для доказательства воспользуемся методом перебора.
Деление равных чисел и свойство единицы
0 ÷ a = 0; 0 × a = 0
Суть: пустоту, то есть ноль, можно сколько угодно пытаться делить или умножать, это так и останется пустотой.
a × b = b × a
Суть: множители можно менять местами, результат не изменится.
Умножение двух множителей можно представить в виде площади прямоугольника. Простейший пример - два множителя. Неважно, умножим мы количество строк на количество столбцов или наоборот, площадь не изменится.
Также переместительное свойство называют коммутативностью.
Переместительное свойство умножения
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) = (a × c) × b
Суть: множители можно группировать (то есть заключать в скобки) как удобно, результат не изменится.
Для демонстрации возьмем три множителя: длину, ширину и высоту (a, b, c) и прямоугольную призму. Неважно как мы группируем части призмы, объём останется прежним.
Сочетательное свойство умножения
c (a + b) = ac + bc
Суть: при умножении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.
Площадь двух маленьких прямоугольников ac + bc - то же самое что и площадь одного большого прямоугольника c (a + b)
Распределительное свойство относительно сложения
c (a - b) = ac - bc
Суть: при умножении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.
Площадь двух маленьких прямоугольников ac - bc, когда один вычитаем из другого - то же самое что и площадь одного маленького прямоугольника c (a + b)
Распределительное свойство относительно вычитания
Вспомните переместительное свойство вычитания: a - b = (-b) + a
Обратите внимание, и сложение, и умножение обладает коммутативностью, или, другими словами, от перестановки элементов результат не меняется. При этом в сложении менять местами даже отрицательные слагаемые, то есть обратную операцию для сложения.
Взглянем на эту запись: a ÷ b
Можно ли поменять местами элементы? Можно! Но как это записать?
a ÷ b = ÷ b × a
запись ÷ b × a некорректна, потому что ÷ b неясно к чему применять.
Чтобы это исправить пишут: 1 ÷ b
И тогда корректное перемещение деления выглядит так:
a ÷ b = 1 ÷ b × a
Также деление можно представить в виде дроби:
a ÷ b = 1 ÷ b × a → a × 1/b = 1/b × a
На иллюстрации представлено графическое доказательство.
Деление можно представить в виде умножения дроби
Зачем это нужно: свойства деления основаны именно на этой закономерности.
a × b ÷ c = (a × b) ÷ c = a × (b ÷ c)
Суть: множители можно группировать (то есть заключать в скобки) как удобно, результат не изменится, даже если множители представляют собой деление.
Это следствие из сочетательного свойства умножения
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
Как мы выяснили выше в теме деление можно представить в виде умножения дроби, это ÷ c и это 1/с - одно и то же:
a × b ÷ c = (a × b) ÷ c = a × (b ÷ c) → a × b × 1/c = (a × b) × 1/c = a × (b × 1/c)
(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c
Суть: при делении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.
Основано на распределительных свойствах умножения относительно сложения и вычитания.
Достаточно деление превратить в умножение на дробь, и это свойство превращается в распределительное свойство:
(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c → (a ± b) × 1/c = a × 1/c ± b × 1/c
a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c
Суть: отрицательные множители (деление) с общим знаком можно перемножить между собой, а затем разделить их произведение.
Это свойство аналогично вычитанию суммы из числа.
Воспользуемся математической магией:
представим в виде дроби a ÷ (b × c) → a × 1/(b × c)
раскроем скобку a × 1/(b × c) → a × 1/b × 1/c
сгруппируем a × 1/b × 1/c → (a × 1/b) × 1/c
дроби превратим обратно в деление: (a × 1/b) × 1/c → (a ÷ b) ÷ c
Отсюда a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c
Степень - это гипероперация умножения, то есть, сокращенная запись нескольких операций умножения.
Смысл - степень, корень и логарифм позволяет работать со сложными процентами, с вероятностями и другими явлениями, в которых используется множественное умножение.
Степень - это сокращенная запись умножения
Степень - это операция, которая отвечает на вопрос, сколько будет, если основание степени умножить на количество указанное в показателе степени
Элементы степени
Корень - операция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос, какое число возвели в степень корня, чтобы получить подкоренное выражение.
Элементы корня
Часто можно встретить символ корня без обозначения степени √ подразумевается, что это корень второй степени.
Логарифм - операция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма.
Элементы логарифма
Существует 3 вида логарифмов: обычные, десятичные и натуральные.
Десятичный логарифм - логарифм с основанием равным 10.
Десятичный логарифм
Натуральный логарифм - логарифм с основанием равном экспоненте (e).
Натуральный логарифм
Взаимосвязь степени, корня и логарифма
Представьте, что у вас есть счет в банке на 100₽. Каждый месяц счет увеличивается на 3% от суммы счета на начало месяца. Сколько будет на счете к концу года?
Может показаться что правильное решение такое: 3% × 12 месяцев = 36%, тогда 36% × 100₽ = 136₽, но это ошибка. Важно учитывать, что 3% начисляется от суммы счета каждый месяц.
Правильное решение: (((((((((((100₽ × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%
Выглядит эта запись страшно! Можно ли ее упростить? - Да!
Применим математическую магию: сочетательное свойство умножения:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) = (a × c) × b
Его суть: группировки, то есть скобки, не влияют на результат.
100₽ × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3%
Важная оговорка, чтобы возвести процент в степень, нужно записать его в виде дроби: 3% → 1.03, почему именно так, поговорим позже, пока это неважно. Степень - это сокращенная запись умножения, значит можно записать так:
Подобные вычисления называются сложным процентом. Степени незаменимы в них.
Если бы хотели узнать баланс счета через 10 лет. Без использования степени это будет больно.
Представьте обратную ситуацию: за год баланс счета увеличился на 48%, на сколько процентов увеличивался баланс в среднем за месяц?
Ответ 4% - неправильный, нельзя просто поделить 48% на 12 месяцев, потому что использовался сложный процент. Нужно использовать корень, потому что 48% - это результат работы степени, а корень - это обратная операция для степени.
Прежде всего 48% представим в виде дроби: 1.48
1.033 → 3.3%
Правильный ответ ≈3.3%
Вы ищете вторую половинку. Вероятность, что он(она) свободен/свободна, пусть будет 30%, также вероятность того, что вы ему(ей) понравитесь - 30%, что он(она) вам понравится - 30% и 70% что он(она) не курит. Переведем проценты в дроби и перемножим, чтобы получить общую вероятность: 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.7 = 0.0189 или 1.89%.
По законам вероятности, которые мы будем изучать позже, вероятность противоположного события уменьшается с количеством попыток. Когда вы кидаете монетку 1 раз, какова вероятность, что орел не выпадет? - 50%. А если подкинете 2 раза, какова вероятность, что орел не выпадет? Уже 50% * 50% = 25%. C увеличением количества попыток вероятность будет все меньше.
Вероятность, что вы не встретите свою половинку с первой попытки равна 100% - 1.89% = 98.11% = 0.9811.
Если вы совершите 3 попытки, то вероятность не встретить половинку:
0.9811 × 0.9811 × 0.9811 = 0.9443
Можно долго вычислять, сколько нужно попыток, чтобы довести вероятность не найти половинку до 0.1%, можно воспользоваться логарифмом.
Логарифм спрашивает в какую степень нужно возвести нижнее число, чтобы получить верхнее:
Другими словами сколько нужно сделать попыток, чтобы вероятность не встретить половинку была 0.1% и ответ - 362 попытки.
Свойства степеней и корней
Свойства логарифмов
Суть: степень - это сокращенная запись умножения, значит при умножении одинаковых чисел показатели степени можно сложить
При умножении степени складываются
На этом основано это свойство логарифмов
Суть: степень - это сокращенная запись умножения, значит при делении одинаковых чисел показатели степени можно вычесть
При деление степени вычитаются
На этом основано это свойство логарифмов
Число в первой степени - это само число
В какое число нужно возвести число, чтобы получить само число? - в первую степень.
Число в нулевой степени - это единица
В какую степень нужно возвести число, чтобы получить единицу? - в нулевую степень.
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Отрицательная степень числа
Степень корня равна знаменателю дроби степени: 1/n → корень n-ой степени.
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Дробная степень числа
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Степень в степени
Корень - то же степень, но дробная.
Все последующие свойства логарифма доказываются математически на основе свойства степени (степень в степени). Догадаетесь почему?
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Как умножать числа с одинаковыми степенями
Корень - то же степень, но дробная.
Помним, что деление - это тоже умножение, но на дробь.
Из предыдущих двух свойств получается это
Математическая операция - это вопрос, требующий ответа. Это авторское определение. Превращение одной операции в другую - переформулирование вопроса, это пригодится в лекции "почему дробь при делении переворачивается".
В зависимости от цели, операции разделяют на 2 типа: вычислить чтобы сравнить, или по-другому: операции действия и операции отношения.
Операции отношения
равно (=)
больше (>)
меньше (<)
больше или равно (≥)
меньше или равно (≤)
не равно (≠)
Операции действия
Сложение и Вычитание
Умножение и Деления
Степень, Корень и Логарифм
Тетракция, Суперкорень и Суперлогарифм
Пентация...
Гексация...
Гептация...
Нет предела количеству операций
Гипероперация - краткая запись нескольких других операций.
Умножение - гипероперация, то есть краткая запись нескольких операций сложения. Возведение в степень - гипероперация, то есть краткая запись нескольких операций умножения. Поэтому нет предела количеству операций действия, на каждую операцию можно придумать гипероперацию.
Сложение - это операция увеличения или перемещения. Вычитание - это обратная операция сложению, содержит в себе тот же смысл, что и сложение: уменьшение и перемещение.
Умножение - это операция содержания, а также гипероперация сложения. Деление - операция содержания, обратная умножению.
Степень - это гипероперация умножения. Используется для вычисления сложного процента, работы с вероятностями и другими операциями, где умножение одних и тех же показателей используется несколько раз. Корень и Логарифм - это две обратные операции для степени.
Корень - какое число возвели в степень корня, чтобы получить подкоренное выражение. Логарифм - в какую степень нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма.